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Quake-III原代码里的神奇的浮点开方函数！

Quake-III Arena (雷神之锤3)是我大学时期爱玩的经典游戏之一。喜爱这个系列的游戏，不仅因为画面和内容，更重要的是我得计算计配置低，但Q3A却能极其流畅地运行。这要归功于它3D引擎的开发者约翰-卡马克（John Carmack）。事实上早在90年代初DOS时代，只要能在PC上搞个小动画都能让人惊叹一番的时候，John Carmack就推出了石破天惊的Castle Wolfstein, 然后再接再励，doom, doomII, Quake...每次都把3-D技术推到极致。他的3D引擎代码资极度高效，几乎是在压榨PC机的每条运算指令。当初MS的Direct3D也得听取他的意见，修改了不少API。

  最近，QUAKE的开发商ID software 遵守GPL协议，公开了QUAKE-III的原代码，让世人有幸目睹Carmack传奇的3D引擎的原码。
  这是QUAKE-III原代码的下载地址：
  http://www.fileshack.com/file.x?fid=7547
  注意下载时，第一次弹出页面要求登陆，选择上面的不登陆（速度受限制），然后选择“download now”，弹出窗选左边排队等待。我运气好，第二次就下到了，速度还很快。

  我们知道，越底层的函数，调用越频繁。3D引擎归根到底还是数学运算。那么找到最底层的数学运算函数（在game/code/q_math.c）， 必然是精心编写的。里面有很多有趣的函数，很多都令人惊奇，估计我们几年时间都学不完。

  最令人惊讶的是平方根函数sqrt()。课本里说的，基本上是牛顿跌代法，通过若干步的叠代，结果越来越接近真实结果。
  但q_math.c里面却给出了这样奇异的平方根函数：（我的注释）
float Q_rsqrt( float number )
{
  long i;
  float x2, y;
  const float threehalfs = 1.5F;
  x2 = number * 0.5F;
  y  = number;
  i  = * ( long * ) &y;         // 浮点数按BIT强行赋给长整形
  i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // 没天理！！！！！
  y  = * ( float * ) &i;
  y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 第1次叠代
  // y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 第2次叠代，可以删除
  #ifndef Q3_VM
  #ifdef __linux__
    assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
  #endif
  #endif
  return y;
}
   函数返回1/sqrt(x)，这个函数在图像处理中比sqrt(x)更有用。
   注意到这个函数只用了一次叠代！（其实就是根本没用叠代，直接运算）。编译，实验，这个函数不仅工作的很好，而且比标准的sqrt()函数快4倍！要知道，编译器自带的函数，可是经过严格仔细的汇编优化的啊！
  
  这个简洁的函数，最核心，也是最让人费解的，就是标注了“没天理”那句：（原代码的注释是 what the fu*ck ?）
     i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // 没天理！！！！！

再加上y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
两句话就完成了开方运算！而且注意到，核心那句是定点移位运算，速度极快！特别在很多没有乘法指令的RISC结构CPU上，这样做是极其高效的。

  最让人感兴趣的，是那个常数0x5f3759df。我的猜测是这样的：牛顿叠代法用1/2作为初始点进行N步叠代得到精确结果。这里计算一个最佳猜测值i,然后，以i为起始点，只需要做1步叠代，就可以得到相当精确的结果。如果做2次叠代，就更为精确了（屏蔽掉那句）。


   搜索包含关键字“0x5f3759df”的文章，找到普渡大学数学系的Chris Lomont的一篇论文，专门对这个函数研究，尝试用严格的方法推导出这个常数（他还提到有人认为这个函数是在NVidia工作过的Gary Tarolli写的）。Chris推出的常数是0x5f37642f)，和Q_rsqrt里的稍有不同，而且实际表现也稍有不如。卡马克到底怎么推出这个常数的就是谜了。

论文下载地址：
http://www.math.purdue.edu/~clomont/Math/Papers/2003/InvSqrt.pdf

最后，给出最精简的1/sqrt()函数：
float InvSqrt(float x)
{
  float xhalf = 0.5f*x;
  int i = *(int*)&x; // get bits for floating value
  i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
  x = *(float*)&i; // convert bits back to float
  x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
  return x;
}  

  大家可以尝试在PC机、51、AVR、430、ARM、上面编译并实验，惊讶一下它的工作效率。

   技术方面就说到这，看看别人对一个最普通函数都压榨到这种地步，再对比国内不求甚解的所谓“搞技术”，再看自己浮躁的心态，自觉惭愧不已...